Triángulos                                                                Un triángulo, en geometría, es la reunión de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y no colineales. Cada punto dado pertenece a dos segmentos exactamente. Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa.

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres ángulos exteriores, tres lados y tres vértices entre otros elementos.                                                                                                  Triángulos según sus lados                                                                

• Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o  radianes).                                                                            

                                                                                                                                    

• Como triángulo isósceles , tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. Un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales.

                                                                                                                                               

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.                                                                                                                                                                                   Triángulos según sus ángulos                                                       
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).                                                                                                                                                                                                 
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.                                                                                                         Propiedades de los triángulos                                                        Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.
  El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).
  Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras triángulares.
  Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n-2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.
  En geometría euclidiana⁶ la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:                                                                                                                                                                                                                                                                                
  
  
  Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.                                                                                                                                                                                                                                                                

  Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

  
  
  En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos desconocidos. Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos:
  • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo considerado.
  • El cateto adyacente es el cateto que forma el ángulo agudo considerado.

  Seno, coseno y tangente[editar]

  El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

  

  El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

  

  La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

  

  Nota: Los cocientes de las tres relaciones anteriores no dependen del tamaño del triángulo rectángulo.                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

                                    Transformaciones de Grados a Radianes                         A) 30g= 30*PI/180 = PI/6                                                                                                                                                                                                                                                            B) 45g= 45*PI/180=45PI/180= PI/4                                                                                                                                                                                                                                                               De Radianes a Grados                                                                                                                                                                                                                           A) PI/3=  PI/3*180g/PI*180g/3PI=180/=60g                                                                                                                                                                                                                                   B)PI/4= PI/4*180g/PI =180g/4=45g                                                                                                                                                                                                                                                         

Por ejemplo hallemos la medida del angulo descrito por una circunferencia de radio r.                                                                                                                                       El arco de la circunferencia sera igual al perímetro de la misma cuya formula es  (S= P= 2*PI*R.)                                                                                                                                                                 Entonces la medida en radian sera: (A= S/R= 2*PI*R/R= 2*PI*Rad)                                                                                                                                                                                                                   Una circunferencia representa un angulo que da un giro completo, por lo que: (360g=2PI*Rad)                                                                                                                                                                           Es muy usual el uso del sistema radian que el angulo se exprese como múltiplo de PI, e incluso se obvia la unidad rad. En forma análoga el ejemplo anterior, es posible obtener las siguientes equivalencias:                                                                                                                                             30g= PI/6   45g =PI/4   60g=PI/3  90g=PI/2   180g=PI  360g=2PI                                                                                                                                                                                                                           Notese que no se utilizo la unidad radian.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

                                                   Conversión de medidas                                      a) Para convertir de grados a radianes se multiplica el valor del angulo dado PI/ 180grados.                         b) Para convertir de radianes a grados se multiplica el valor del angulo dado por 18g/ PI.                                                                                                                                                                 Medición de ángulos: las unidades mas empleadas para la medida de ángulos son el sistema sexagesimal y el radian. Ademas existe un sistema centesimal que no es empleado frecuentemente como los dos primeros.                                                                                                                                                                                                                                                                                                 a) sexagesimal: en este sistema una vuelta equivale a 360g cada grado se divide en 60 partes conocidas como minutos. Cada minuto se divide en 60 partes denominadas segundos.                                                                                                                                                                                                    Ejemplo:93g 35' 40'' se lee. 93grados, 35 minutos y 40 segundos.                                                                                                                                                                                                                    b)Radian: el radian determina que la medida del angulo es igual al cociente  del arco de circunferencia, descrito por el angulo, entre el radio que genera al arco.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  La unidad sera radian, comunmente escrito= rad.                                                                                                      

                                           Ángulos y sus tipos                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Un angulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radian, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometria plana) o curvas (trigonometria esférica). Se denomina angulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplano cuyo origen común es una recta. Un angulo solo es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.                                                                                                                                                                                                                    Angulo opuesto, a la rotación que transforma a r en r la llamaremos angulo opuesto de a y la indicaremos así: -a.   En general llamaremos ángulos positivos a las rotaciones de sentido contrario al de las agujas del reloj y ángulos negativos a las rotaciones de sentido igual al de las agujas del reloj.                                                                                                                                                                                                                                                      Angulo nulo  , es la rotación de centro o que transforma r en si mismo.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           Angulo llano  , es la rotación que transforma a r en -r.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Angulo recto , es la rotacion que transforma a i en j.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

                                            Ejercicios de cambio de base de logarimo                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   A) Lg27= Lg2/Lg7 =0.301029995/0.84509804 =0.3562071863                                                                                                                                                                                                                          B) Lg37 = Lg3/Lg7 = 0.84509804/0.477121254= 5.645750341                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            C) Lg54 = Lg5/Lg4= 0.602059991/0.698970004= 0.861353116

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

Cambio de base de Logaritmo

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       Las tablas de logaritmos decimales nos permiten calcular el logaritmo de un número en  cualquier base.

 Observemos lo siguiente:

•     Supongamos que X e Y son los logaritmos de un numero respecto de las bases A y B:

          Lga N= X (I)
           Lgb N= Y (II)

•        Poniendo estas ecuaciones en forma exponencial: ax = N      bx=N                                                                                                                                                                                Igualando estas ecuaciones resulta: ax = by                                                                                                                                                                                                              Tomando logaritmo de base "a":X lgaa =Y lgab                                                                                                                                                                                                           Simplificando queda: X = Y lgab                                                                                                                                                                                                                                 Despejado Y:  Y =  X/lgab