Identidades Trigonométricas                                   Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas  y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen²α como (sen α)². Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.                                                                                                                                                      1)    Tg α= Sen α / Cos α = Tangente                                                                   2)   Ctg  α=  1/ Tg α   o  Ctg α  = Cos α / Sen α=  Contangente                                                      3)   Sec α=  1 / Cos α  y por tanto Cos α = 1 / Sen α=  Secante                                       4)    Csc α= 1 / sen  α y por tanto Sen  α= 1 / Csc  α=   Cosecante                                   5)   Cos 2 α + Sen2 α  = 1                                                                              6)    1 + Tg 2 α =  Sec 2 α                                                                                                                    7)    Csc2 α =  Ctg2 α +1                                                                                                                                                                                                                                                               Ejercicios                                                                               a) 1 - Sen2α /  1 -  Cos2   α =    Ctg2 α                                                                                                                                                                                                                                                                       Cos2 α  / Sen2 α =  Ctg2 α                                                                                                                         Ctg2 α =  Ctg2 α                                                                                                                                                                                                                                           b)  Cos α   *  Tg α = Sen α                                                                                                                                                                                                                                                                                             Co/s α *  Sen  α / Co/s α = Sen  α                                                                                                                    Sen  α =    Sen  α

                               Circulo Trigonométrico                                       Círculo trigonométrico. También conocido como goniométrico, es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas. Atreves del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios.                                                                                                                                                                                                                                 Coseno de α. Partiendo del ángulo α y la recta r se obtiene un punto P, si se traza una línea perpendicular desde ese punto y hacia el eje X se obtiene un segmento OA que se denomina coseno de α.

Tangente de α. Una línea tangente es la que solo toca en un punto a la circunferencia.

Cotangente de α. Si trazamos una recta FD que sea tangente al punto F y que toque a la recta OD, FD es cotangente de α.

Cuadrantes del Circulo Trigonometrico 

Si dividimos el círculo en 4 partes iguales a cada parte se le conoce como cuadrante, en cada cuadrante las funciones seno, coseno , tangente y cotangente cambian su valor.

Primer cuadrante. Si aumenta el ángulo α disminuye el valor del coseno y  de la cotangente pero aumenta el valor de la tangente y del seno.

Segundo cuadrante. Si aumenta el ángulo α, disminuye el valor del seno, del coseno, de la tangente y de la cotangente.

Tercer cuadrante. Si aumenta el ángulo α, disminuye el valor del seno, del coseno y de la cotangente pero aumenta el valor de la tangente.

Cuarto cuadrante. Si aumenta el ángulo α, disminuye el valor del seno y de la tangente pero aumenta el valor del coseno y de la cotangente.                              

Ejercicios triángulos rectángulos

                                                                                                           

Triángulo isósceles

                                     La Trigonométria                                                                                                                                                         En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.                                                                                                                                                                                                                                             Las funciones  trigonométricas                                                                                      La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.

Razones trigonométricas[editar]

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir lasrazones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

                  

                                                                                                                   

Ángulos notables                                                                                                              

                                    

                                                      Triángulos                                                                Un triángulo, en geometría, es la reunión de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y no colineales. Cada punto dado pertenece a dos segmentos exactamente. Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa.

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres ángulos exteriores, tres lados y tres vértices entre otros elementos.                                                                                                  Triángulos según sus lados                                                                

• Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o  radianes).                                                                            

                                                                                                                                    

• Como triángulo isósceles , tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. Un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales.

                                                                                                                                               

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.                                                                                                                                                                                   Triángulos según sus ángulos                                                       
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).                                                                                                                                                                                                 
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.                                                                                                         Propiedades de los triángulos                                                        Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.
  El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).
  Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras triángulares.
  Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n-2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.
  En geometría euclidiana⁶ la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:                                                                                                                                                                                                                                                                                
  
  
  Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.                                                                                                                                                                                                                                                                

  Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

  
  
  En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos desconocidos. Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos:
  • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo considerado.
  • El cateto adyacente es el cateto que forma el ángulo agudo considerado.

  Seno, coseno y tangente[editar]

  El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

  

  El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

  

  La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

  

  Nota: Los cocientes de las tres relaciones anteriores no dependen del tamaño del triángulo rectángulo.                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

                                    Transformaciones de Grados a Radianes                         A) 30g= 30*PI/180 = PI/6                                                                                                                                                                                                                                                            B) 45g= 45*PI/180=45PI/180= PI/4                                                                                                                                                                                                                                                               De Radianes a Grados                                                                                                                                                                                                                           A) PI/3=  PI/3*180g/PI*180g/3PI=180/=60g                                                                                                                                                                                                                                   B)PI/4= PI/4*180g/PI =180g/4=45g                                                                                                                                                                                                                                                         

Por ejemplo hallemos la medida del angulo descrito por una circunferencia de radio r.                                                                                                                                       El arco de la circunferencia sera igual al perímetro de la misma cuya formula es  (S= P= 2*PI*R.)                                                                                                                                                                 Entonces la medida en radian sera: (A= S/R= 2*PI*R/R= 2*PI*Rad)                                                                                                                                                                                                                   Una circunferencia representa un angulo que da un giro completo, por lo que: (360g=2PI*Rad)                                                                                                                                                                           Es muy usual el uso del sistema radian que el angulo se exprese como múltiplo de PI, e incluso se obvia la unidad rad. En forma análoga el ejemplo anterior, es posible obtener las siguientes equivalencias:                                                                                                                                             30g= PI/6   45g =PI/4   60g=PI/3  90g=PI/2   180g=PI  360g=2PI                                                                                                                                                                                                                           Notese que no se utilizo la unidad radian.